FileРost.Ru: Информация о диске

 

Каталог готовых дисков

Образовательные материалы / Высшее образование / Лекции - Современная математика

Описание диска.
Имя диска Лекции - Современная математика
Носитель 5 dvd 
Цена 450 руб.
Описание Лекции летней школы "Современная математика"

Начиная с 2001 года Отделение математических наук Российской академии наук, Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Московский комитет образования и Московский центр непрерывного математического образования проводят уникальную по составу преподавателей и участников школу по математике.
В течение двух недель около ста участников школы принимают участие в 70–80 лекциях или семинарах.

Среди преподавателей школы — как ведущие математики страны В.И.Арнольд, Д.В.Аносов, А.А.Болибрух, В.А.Васильев, проф. А.В.Архангельский, А.Б.Сосинский, В.М.Тихомиров, А.Г.Хованский, М.А.Цфасман, так и вчерашние и сегодняшние студенты, которые сравнительно недавно начали свой путь в науке (А.Браверман, А.Буфетов, В.Клепцын, А.Кузнецов).
Кстати, при полностью добровольном выборе курсов участниками школы маститым лекторам приходилось выдерживать конкуренцию с более молодыми коллегами.
Оргкомитету зачастую приходилось существенно корректировать расписание, чтобы участники школы (а часто и преподаватели) имели возможность посетить все те занятия, которые они сами для себя выбрали.

Состав слушателей школы тоже был весьма ярким.
Многие участники школы прошли через "огонь и воду" разных российских и международных математических соревнований, других приглашали по рекомендациям ведущих учителей, научных руководителей из вузов.

Темы лекций :

1) A что будет, если $n$ очень большое? А. М. Вершик, 28 июля 2008 г.

Аннотация: Ответом на этот вопрос занимется пол-математики и почти вся физика, — более точную оценку дать невозможно, поскольку часто этот вопрос маскируется совсем непохожими на него.
Но это не значит, что, если вы видите в задаче $n$ или даже $2^n$, то надо сразу задавать этот вопрос или немедленно переходить к пределу по $n$ — «асимптотничать» надо с умом.

2) Теорема А. Д. Александрова о развертках выпуклых многогранников. Н. П. Долбилин, 28 июля 2008 г.

3) Соприкасающиеся кривые. Э. Жис, 28 июля 2008 г.

Аннотация: Я буду говорить об одном из самых классических геометрических сюжетов — о кривых на плоскости.
Через точку на кривой можно провести «соприкасающуюся окружность»: окружность, проходящую через эту точку, и наилучшим образом приближающую данную кривую.
Её радиус это радиус кривизны.
Я начну с того, что покажу неожиданное, почти неправдоподобное поведение таких окружностей при движении точки вдоль кривой.
Я не буду здесь формулировать никаких утверждений, потому что это испортит сюрприз!
Затем, мы перейдём к обсуждению соприкасающихся эллипсов и алгебраических кривых более высокой степени; мы увидим красивые и интересные картины!

4) Цепные дроби квадратных корней из целых чисел. В. И. Арнольд, 28 июля 2008 г.

Аннотация: Цепная дробь вещественного числа периодична если и только если это число удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами. (Лагранж)

Всякая периодическая последовательность определяет такую цепную дробь, но для уравнений $x^2=Q$ или $x^2+px+q=0$ c целыми коэффициентами периодические цепные дроби обладают удивительными специальными свойствами.
Например, если длина периода равна 2, то один из членов периода делится на другой.
Если длина периода нечетное число, то $Q$ является суммой квадратов двух натуральных чисел.
Однако если $Q$ сумма квадратов, то длина периода может быть как четной, так и нечетной.
Назовем число $Q$ «красным», если длина периода цепной дроби нечетна.
В курсе будут доказаны некоторые теоремы о «красных» числах и сформулированы новые гипотезы о них.
Будет также обсуждено понятие равномерного распределения множеств точек в эвклидовых пространствах с применениями к распределениям простых и «красных» чисел.
Никаких специальных предварительных знаний у слушателей не предполагается.

5) От статистической физики к математическим задачам. Д. А. Звонкин, 28 июля 2008 г.

Аннотация: Увеличится или уменьшится температура кипения воды, если её посолить?
Под лозунгом этого вопроса пройдёт первая часть курса.
Я попробую сделать такое введение в статистическую физику, чтобы ответы на этот и подобные вопросы стали очевидными.
Почему подсчёт гауссового интеграла по пространству матриц оказывается связнным с перечислением вложенных графов?
На первый взгляд этот вопрос имеет мало общего с первым, но, тем не менее, он тоже мотивирован статистической физикой.
Цель второй половины курса — привести примеры важных задач современной математики, которые первыми поставили и стали решать физики.
А также, по мере возможности, показать как их можно решать.

6) Узлы и косы. А. Б. Сосинский, 27 июля 2008 г.

Аннотация: Будет рассказано, что такое математическая теория узлов и зачем нужны их инварианты.
Задача (трехмерная) о классификации узлов будет сведена к чисто комбинаторной двумерной задаче с помощью изящного инструмента — операций Райдемайстера.
Затем будет показано, как вычисляется знаменитый инвариант узлов — полином Александера–Конвея (доказательство его существование останется в виде (серьезной!) задачи).
Второе занятие (семинар). Будет построен (со всеми доказательствами) еще более знаментый инвариант узлов — полином Джонса, за который в 1992 году австралийский математик Воан Джонс получил медаль Фильдса.
Это будет сделано с помощью т.н. скобки Кауфмана, т.е. с помощью соображений, тесно связанных со статистической физикой.
Мы научимся вычислять этот полином и докажем ряд его свойств.
Третье занятие (семинар). Его содержание будет зависеть от того, насколько мы продвинемся на предыдущих занятиях и (отчасти) от пожеланий слушателей.
Либо мы закончим дальнейшим изучением свойств полинома Джонса, либо займемся теорией кос, либо будет рассказана аксиоматика инвариантов Васильева.
Лекция и занятия будут доступны и студентам, и школьникам.
Необходимые формальные топологические определения будут сформулированы, но доказательство части вспомогательных тополого-геометрических лемм будут проведены неформально (но я надеюсь — интутивно понятно).

7) Математика и законы природы. В. М. Тихомиров, 27 июля 2008 г.

Аннотация: В лекции будет освещена основная концепция Ньютона, согласно которой законы природы описываются на языке математического анализа (по преимуществу, на языке дифференциальных уравнений).
Будет рассказано о математическом описании законов Архимеда, Галилея, Кеплера, Ферма, Гука, о началах математической физики в трудах Н. Бернулли, Эйлера, Лапласа и Фурье, о формуле сложения скоростей Эйнштейна и об уравнении Шрёдингера.

8) О шарнирных механизмах, раскрашенных графах и вывернутых наизнанку многогранниках. Г. Ю. Панина, 26 июля 2008 г.

Аннотация: Вот три тесно связанные между собой задачи, которые мы будем обсуждать.
1. Как распрямить плотницкую линейку?
2. Можно ли нарисовать на сфере правильно раскрашенный граф?
3. Верна ли старая гипотеза А. Д. Александрова о характеризации сферы?
Попутно будет сформулировано много задач разного уровня сложности (именно исследовательских задач, а не упражнений!).
Часть из них — для умеющих и любящих программировать.
В курсе будет много картинок.
Программа курса.
1. Постановка задач 1–3. Шарнирные механизмы, жесткие и изгибаемые. Пружинные графы на сфере и на плоскости. 3D lift пружинного графа.
2. Связь «пружинный граф — кусочно-линейная поверхность». Седловые поверхности, раскрашенные графы. Псевдотриангуляции. Распрямляем плотницкую линейку.
3. Связь «пружинные графы с растянутыми пружинами на сфере — выпуклые многогранники». Пружинные графы образуют группу. Виртуальные многогранники.
4. Собираем все воедино. Седловые (или гиперболические) виртуальные многогранники. Гипотеза А. Д. Александрова. Конфигурации больших полукругов.

9) Дискретный комплексный анализ и плоскость Лобачевского. С. П. Новиков, 26 июля 2008 г.

10) Теневое исчисление. С. К. Ландо, 21 июля 2008 г.

Аннотация: Бином Ньютона $$ (x+y)^n=\binom n0x^n+\binom n1x^{n-1}y+\binom n2x^{n-2}y^2+\dots+\binom nny^n $$ (здесь $\binom nk=\frac{n!}{k! (n-k)!}$ это биномиальный коэффициент, обозначаемый также через $C_n^k$) можно интерпретировать как свойство последовательности степеней $x^0,x^1,x^2,\dots$ .
Оказывается, эта последовательность — не единственная последовательность с таким свойством.
Например, если мы рассмотрим последовательность многочленов $$ (x)_n=x(x-1)(x-2)\dots(x-n+1) $$ («нисходящие факториалы»), то для нее также $$ (x+y)_n=\binom n0(x)_n+\binom n1(x)_{n-1}(y)_1+\binom n2(x)_{n-2}(y)_2+\dots+\binom nn(y)_n $$ (проверьте!).
Такие последовательности многочленов называются {\it биномиальными}, их много, и многие из них оказываются очень интересными.
Долгое время наличие у биномиальных последовательностей многочисленных общих свойств воспринималось как нечто таинственное и необъяснимое, почему их изучение и было названо umbral calculus, т.е. {\it теневое исчисление}.
Работы Рота в 60-х годах прошлого века сорвали с теневого исчисления покров тайны, однако не уменьшили интерес к биномиальным последовательностям, поскольку они регулярно возникают в самых разных областях математики.
На занятиях мы обсудим, как выписывать все биномиальные последовательности и какие у них свойства.
Все необходимые для этого выходящие за рамки школьной (а изредка и университетской) программы сведения будут сообщены.

11) Компакты и компактность. И. В. Ященко, 21 июля 2008 г.

Аннотация: В этой лекции мы познакомимся с одним из важнейших понятий топологии — компактностью, начав с обсуждение того, какие же свойства обычного отрезка отвечают за выполнение основных теорем о непрерывных функциях.
Будет разобрано много примеров и применений — простых и сложных.
В основном, мы будем заниматься метрическими пространствами (определение будет напомнено).
Немного позанимаемся и компактностью в топологических пространствах (определение будет дано).
Те, кто уже знакомы с понятием компактности, могут спокойно проспать первую половину (лучше в номере, так как пара первая), и, возможно, прийти на вторую половину, в которой будет рассказано про более тонкие применения компактности (например, для нахождения аналитического отображения области в круг), необычные наблюдения (например, какой компакт на плоскости встречается в природе «чаще всего») и про некоторые классические нерешенные задачи (оказывается, что на некоторые естественные вопросы о компактах на обычной плоскости ответов пока нет).
Предварительных знаний для основного материала лекции не требуется.
Необходимые для некоторых примеров понятия будут сообщены по ходу дела.

12) Элементы теории вероятностей: от аксиом до прогулок пьяницы. Д. В. Аносов, 20 июля 2008 г.

Аннотация: Сперва мы объясним основные понятия теории вероятностей и аксиомы, формализующие их свойства.
После этого нашей основной целью будет объяснение и доказательство для простейшего частного случая нескольких асимптотических законов теории вероятностей, которые выявляют различные закономерности, возникающие, когда изучаемая величина складывается под действием большого числа независимых факторов.
В этом контексте получается простейшая идеализированная модель броуновского движения модель, в некоторых отношениях переупрощённая, но правильно воспроизводящая другие черты такого движения.
Будет проведено сравнение точности приближённых асимптотических выражений.
На упражнениях слушатели подробнее познакомятся также с условными вероятностями и независимостью случайных событий.

13) Вычислимые действительные числа и их нумерации. В. А. Успенский, 19 июля 2008 г.

Аннотация: Целые числа, рациональные, алгебраические… Что дальше (оставаясь в пределах действительных чисел)?
Дальше идут \textit{вычислимые действительные числа}, т.е. такие действительные числа, которые можно в разумном смысле вычислить.
«Можно вычислить» означает, что вычисление можно запрограммировать.
Мыслимы различные подходы к тому, что именно надо программировать.
Один подход: составлять программу для получения сколь угодно близкого рационального приближения.
Другой подход: составлять программу для получения любого знака в двоичной (троичной, \dots, десятичной, … и т.д.) записи числа.
Возможны и другие естественные подходы.
Все они эквивалентны в том смысле, что приводят к одному и тому же множеству вычислимых действительных чисел.
Однако если рассмотреть, скажем, двоичную и десятичную записи чисел, то обнаруживается следующий эффект: существует алгоритм, переводящий программу десятичной записи в программу двоичной записи того же числа, но не существует алгоритма, переводящего программу двоичной записи в программу десятичной.
Программы вычислимых чисел естественно рассматривать как имена этих чисел.
Различные упомянутые выше подходы приводят к различным системам имён, эквивалентным в одном смысле и не эквивалентным в другом. Снабжение элементов какого-либо множества именами называется \textit{нумерацией} этого множества, потому что без ограничения общности имена можно считать натуральными числами.
Общая теория нумераций возникла в феврале 1954 г. в результате замечания, сделанного А. Н. Колмогоровым на руководимым им совместно с автором семинаре по рекурсивной арифметике.
Поводом послужило изучение на указанном семинаре так называемых \textit{конструктивных ординалов} (они же \textit{конструктивные порядковые числа}), т.е. тех ординалов, которых можно снабдить именами, используя некоторую естественную алгоритмическую процедуру.
Основные понятия теории нумераций были сформулированы Колмогоровым при обсуждении этой темы.

14) Двумерные поверхности и конфигурационные пространства шарнирных механизмов. А. Б. Сосинский, 29 июля 2007 г.

Аннотация: Один из важнейших понятий механики и теоретической физики — понятие конфигурационного пространства механической системы — почему-то остается неизвестным не только школьникам, но и большинству студентов-математиков.
В лекции рассмотрен очень простой, но весьма содержательный класс механических систем — плоские шарнирные механизмы с двумя степенями свободы.
Мы обнаружим, что в “общем случае” их конфигурационные пространства суть двумерные поверхности, и постараемся понять — какие именно. (Здесь имеются окончательные результаты десятилетней давности Димы Звонкина.)
Далее обсуждаются нерешенные математические задачи, связанные с шарнирными механизмами. (В том числе две гипотезы, а точнее — недоказанные теоремы, американского математика Билла Тёрстона.)
Лекции доступны всем студентам, а также школьникам, кроме тех, кто настолько испорчен изучением математики, что не понимает простые наглядные понятия, которым не было дано формальное определение, и при этом не знает, что такое топологическое пространство.

15) Обратные задачи арифметической комбинаторики. А. А. Разборов, 29 июля 2007 г.

Аннотация: Пусть $\mathbb N$ — множество натуральных чисел, $\mathbb E$ — чётных, $\mathbb P$ — простых, а $\mathbb S$ — множество всех квадратов натуральных чисел.
Знаменитую теорему Лагранжа можно компактно сформулировать как равенство $\mathbb S+\mathbb S+\mathbb S+\mathbb S=\mathbb N$, а не менее знаменитую гипотезу Гольдбаха — как $\mathbb P+\mathbb P\supseteq\mathbb E$.
Изучением поведения подмножеств целых чисел (а также более сложных алгебраических структур) относительно имеющихся операций занимается (в тесном сотрудничестве с традиционной теорией чисел) арифметическая комбинаторика.
Приведённые выше задачи — “прямые”: в них множество $\mathbb A$ известно, и требуется что-то доказать про более сложные образования типа $\mathbb A+\mathbb A$.
Нас же будут интересовать “обратные” задачи, которые (довольно неожиданно!) оказываются не менее сложными и интересными.
Пусть, скажем, множество $\mathbb A$ конечно, и всё, что про него известно — это то, что $|\mathbb A+\mathbb A|$ “намного меньше”, чем $|\mathbb A|^2$.
Что можно сказать про строение $\mathbb A$?
Уже этот кажущийся простым вопрос весьма далёк от окончательного решения, и мы поговорим про задачи такого рода, а также про красивую и богатую теорию, построенную в попытках научиться их решать.
Стоит отметить, что эти вещи в последнее время нашли довольно неожиданные применения в довольно далёких областях таких, как, скажем, гармонический анализ и Theoretical Computer Science.

16) Квадратичные иррациональные числа, их цепные дроби и их палиндромы. В. И. Арнольд, 28 июля 2007 г.

Аннотация: Вещественное число $x$ представлено цепной дробью с целыми неполными частными $a_1,a_2,\dots$ (пишут $x=[a_1,a_2,\dots]$), если $$ x=a_1+\cfrac1{a_2+\cfrac1{a_3+\dots}} \qquad (a_k>0 при k>1) $$
Пример (“Золотое сечение”): $$ x=(\sqrt5+1)/2=[1,1,1,\dots]. $$
Ж. Л. Лагранж доказал, что последовательность неполных частных (начиная с некоторого места) периодична, если и только если число $x$ — квадратичная иррациональность.
Р. О. Кузьмин доказал, что в последовательности неполных частных почти любого вещественного числа доля $d_m$ равных $m$ неполных частных одинакова (для типичных вещественных чисел).
Доля $d_m$ убывает при $m\to\infty$ как $1/m^2$ и её величина была предсказана Гауссом (ничего не доказавшим).
В. И. Арнольд высказал (лет 20 назад) гипотезу, что статистика Гаусса–Кузьмина $\{d_m\}$ выполняется также для периодов цепных дробей корней квадратных уравнений $x^2+px+q=0$ (с целыми $p$ и $q$): если выписать вместе неполные частные, составляющие периоды всех цепных дробей корней таких уравнений с $p^2+q^2\le R^2$, то доля неполного частного $m$ среди них будет стремиться к числу $d_m$ при $R\to\infty$.
В. А. Быковский со своими хабаровскими учениками доказали недавно эту давнюю гипотезу.
Несмотря на это, вопрос о статистике не букв, а составленных из них слов $[a_{k+1},a_{k+2},\dots, a_{k+T}]$, которые являются периодами цепных дробей каких-либо корней $x$ уравнений $x^2+px+q=0$ далеко не решён.
А именно, статистика таких слов вовсе не совпадает со статистикой всех случайных слов из неполных частных, удовлетворяющих статистике Гаусса–Кузьмина (даже если слова удовлетворяют ей для всех конечных последовательностей неполных частных, а не только для их индивидуальных значений, $m=1,2,\dots$).
Например, все слова, составляющие периоды, оказываются палиндромами: бесконечная периодическая последовательность неполных частных с таким периодом переходит в себя, если читать её задом наперёд (как фраза “а роза упала на лапу азора”).
Таким же свойством палиндромности обладают цепные дроби квадратных корней из рациональных чисел (для каорней из целых чисел это заметил уже Галуа).
Из статистики Гаусса–Кузьмина палиндромность вовсе не вытекает.
Но энтропийно-криптографические соображения показывают, что, кроме палиндромности, периоды цепных дробей квадратных корней из рациональных чисел (и корней квадратных уравнений $x^2+px+q=0$ с целыми коэффициентами) должны обладать ещё целым рядом специальных свойств (которые ещё предстоит открыть).
Другая серия результатов о статистике периодических цепных дробей описывает поведение длины $T(p,q)$ периода цепной дроби корня уравнения $x^2+px+q=0$ (равной единице для золотого сечения).
Среднее $\mathrm{Hat}\{T\}(R)$ длины $T(p,q)$ периода по кругу $p^2+q^2\le R^2$ радиуса $R$ растёт с $R$ линейно (хотя сама длина периода $T(p,q)$ растёт по-разному при удалении от нуля по разным направлениям), причём этот рост напоминает поведение квадратного корня из дискриминанта $p^2-4q$ рассматриваемого уравнения. (В случае, когда корни рациональны, период $T$ считается нулём).
В докладе больше гипотез, исследование которых доступно школьникам, особенно вооружённым компьютерами, чем доказанных теорем (и, тем более, доказательств): предполагается, что слушатели откроют на этом пути новые свойства цепных дробей квадратичных иррациональностей.

17) Физическое моделирование, “обратная связь” и ее практическое применение. А. Р. Зильберман, 28 июля 2007 г.

18) Намагничивание решетки: фазовые переходы и уравнение Шрама–Левнера. В. А. Клепцын, 28 июля 2007 г.

Аннотация: Будет рассказан один сюжет, который может быть равно отнесён к математике и к физике.
Это уравнение (эволюция) Шрама–Лёвнера, или SLE.
Возникает оно следующим образом: если взять довольно простую и естественную модель намагничивания двумерного бруска металла, и попытаться спросить, “а как эта модель себя будет вести”, ответом будет это уравнение.
Причём в большинстве случаев — ответом гипотетическим!
Точнее говоря, как следует из физических аргументов, ответ должен быть именно таким.
Но увы, существующая стратегия математического доказательства того, что ответ именно такой, делится на две половины; и если одна из них, которой и будет посвящён этот курс, работает всегда, то вот вторую удаётся заставить работать только для некоторых частных случаев.
Вообще, то, чему посвящён этот курс — удивительно молодая наука, и сейчас очень динамично развивающаяся: SLE появилось в работе Шрама в 2000 году, работы Смирнова с завершением обоснования ответа в одном из случаев на треугольной решётке в 2001-м, в 2004-м появилась работа Лаулера, Шрама и Вернера, где SLE появлялось как предел в ещё одной возможной постановке, а в 2006-м — препринт Смирнова с доказательством сходимости к SLE в одном из случаев для модели намагничивания квадратной решётки.
В 2006-м же Венделин Вернер получил премию Филдса за исследования именно в этой области, и этой же области была посвящена пленарная лекция Станислава Смирнова на последнем международном математическом конгрессе.
Я собираюсь нарисовать общую картину того, что сейчас в этой области происходит, и рассказать на условно-доказательном уровне ту половину стратегии, которая работает всегда: почему SLE должно быть пределом (“ответом”), если предел конформно-инвариантен (что это значит — будет рассказано).
Помимо основной цели, я постараюсь “зацепить” несколько красивых сюжетов — так, первое занятие мы начнём с “вывода” (нематематического) распределения Максвелла скоростей молекул в газе.
Слушателям курса потребуются интуитивное понимание (но не более того) вероятности, и знание комплексных чисел.
Лекция 4. SLE как ответ в задаче об интерфейсе, если принцип применим. Открытые вопросы.

19) Геометрия, анализ и арифметика фракталов. А. А. Кириллов, 27 июля 2007 г.

Аннотация: Фракталы можно в первом приближении описать как множества дробной размерности.
В курсе в основном рассказано про ковер Серпинского (размерности $\log_23=1.585\dots$) и ковер Аполлония размерности $1.308$ (точное значение неизвестно!).
Об этом написана книга “Повесть о двух фракталах”.
Аннотация к книге приводится также и по-английски.

20) Задачи о покрытии и размерность Вапника–Червоненкиса в комбинаторной геометрии и геометрии чисел. А. М. Райгородский, 26 июля 2007 г.

Аннотация: Вот пример типичной задачи о “покрытии”.
{\it В группе студентов и школьников, посещающих курс А. М. Райгородского в Дубне, 20 человек.
Из них пять человек одинаково хорошо и лучше всех остальных решают задачи по комбинаторике, семь — по геометрии, шесть — по теории чисел и т.д.
Нужно составить из этих молодых людей команду для участия в олимпиаде, чтобы в ней по каждому предмету нашелся специалист и чтобы ее размер был как можно меньше}.
На занятии проблема будет сформулирована в общем виде.
Предполагается обсудить и доказать ряд красивых комбинаторных утверждений, позволяющих оценивать мощность так называемой {\it системы общих представителей} для совокупности подмножеств конечного множества или, как еще говорят, для {\it гиперграфа}.

21) Арифметические прогрессии простых чисел. М. Балазар, 24 июля 2007 г.

Аннотация: Простые числа позволяют себе всё, что им не запрещено.
Среди них есть, например, бесконечно много близнецов (это пары простых $(p,p+2)$), троек $(p,p+2,p+6)$ и т.д.
Это прекрасно известно каждому, кто, как сам Гаусс, долгое время изучал таблицы простых чисел.
Есть, однако, проблема: у нас нет доказательства этих очевидных, элементарных фактов…
Поисками этого математического Грааля занимались много талантливых математиков.
В 2005 г. Б. Грин и Т. Тао сделали замечательный шаг вперёд на этом сложном пути: они доказали, что существуют арифметические прогрессии простых чисел любой длины.
Более того, они совершили этот прорыв, используя идеи из важных математических дисциплин: комбинаторики, гармонического анализа, эргодической теории.
В лекции дано доступное введение в круг этих проблем. Для теории простых чисел XXI-й век хорошо начался!

22) Как может быть устроена трёхмерная Вселенная? Г. Б. Шабат, 24 июля 2007 г.

Аннотация: Мы сейчас знаем о строении Вселенной примерно столько же, сколько древние люди знали о поверхности Земли.
Точнее, мы знаем, что небольшая часть Вселенной, доступная нашим наблюдениям, устроена так же, как небольшая часть трёхмерного евклидова пространства.
Иначе говоря, мы живём на трёхмерном многообразии (3-многообразии).
Кругосветным путешествиям и построениям полных атласов может предшествовать априорная классификация маломерных многообразий — вопрос о том, где мы “на самом деле” живём заменяется на вопрос где мы могли бы жить?
Эта классификация (требующая некоторых естественных ограничений на многообразия) тривиальна в размерности 1, допускает красивый полный ответ в размерности 2, полученный в XIX веке, и составляет исключительно трудную проблему в размерности 3.
В этой проблеме совсем недавно достигнуты замечательные результаты, обзор которых и составляет цель курса.

23) Новый дискретный вариант комплексного анализа. С. П. Новиков, 22 июля 2007 г.

Аннотация: В совместной работе с И. Дынниковым мы предложили дискретный вариант комплексного анализа, который стартует с решётки правильных треугольников на плоскости.
Нам представляется, что этот подход лучше обычного подхода, использующего квадратную решётку.

24) Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней. В. А. Успенский, 22 июля 2007 г. Аннотация: Теорема Гёделя о неполноте — едва ли не самая знаменитая теорема математики.
Она утверждает, что какие бы способы доказывания ни предложить, в любом достаточно богатом языке найдутся истинные, но не доказуемые утверждения.
Богатство языка есть его способность выражать факты.
Оказывается, что для целей теоремы Гёделя богатство языка достаточно понимать как его способность выражать принадлежность натуральных чисел перечислимым множествам.
Понятие перечислимого множества — одно из основных понятий теории алгоритмов: непустое множество называется перечислимым, если его можно расположить в вычислимую последовательность.
Таким образом, теорема Гёделя имеет алгоритмические истоки.
Возможны четыре принципиально различные пути, ведущие от этих истоков к теореме; эти пути были предложены, сооответственно, Гёделем, Колмогоровым, Чейтином и Шенем.

25) Теорема Минковского о выпуклых многогранниках и ее приложения. Н. П. Долбилин, 21 июля 2007 г.

Аннотация: Теорема о существовании и единственности выпуклого многогранника с данными направлениями и площадями его граней, открытая Минковским в 1897 году, наряду с теоремами Эйлера, Коши, А. Д. Александрова, является одной из фундаментальных теорем о многогранниках.
Рассказано о нескольких приложениях этой замечательной теоремы.

26) Порядок Шарковского. Д. В. Аносов, 20 июля 2007 г.

Аннотация: Теорема Шарковского, доказанная в 1960-х гг., даёт ответ на вопрос: как для непрерывного отображения $f$ отрезка в себя связано наличие периодических точек различных периодов?
Точка $x$ периодическая, если она переходит в себя после применения к ней отображения $f$ несколько раз, т.е. если при некотором $n$ $$ \underset{$n$ раз}{f(f(… f(x)\dots))}=x. $$
Наименьшее такое $n$ называется минимальным периодом точки $x$.
Теорема Шарковского была первым общим результатом о динамических системах, получающихся при итерировании отображений отрезка в себя.
Хотя эта “одномерная динамика” кажется чем-то весьма специальным, подобные отображения возникают в некоторых вопросах естествознания и техники, а также играют важную вспомогательную роль при чисто теоретических исследованиях более сложных динамических систем.

27) На сколько частей $n$ прямых делят плоскость? В. И. Арнольд, 20 июля 2007 г.

28) Геометрия корректирующих кодов. М. А. Цфасман, 29 июля 2003 г.

Аннотация: При передаче и хранении информация портится (шум в телефонной трубке, ошибки жесткого диска и так далее).
Чтобы восстановить исходное сообщение в систему передачи следует ввести избыточность, иными словами, передавать вместо него более длинное закодированное сообщение.
Так возникает понятие корректирующего кода (кода, исправляющего ошибки).
Математически это приводит к задаче упаковки шаров в конечномерном векторном пространстве над конечным полем.
Эта задача, в свою очередь, оказывается в значительной части эквивалентна проблеме расположения точек в проективном пространстве “в наиболее общем положении”.
Здесь уже недалеко и до алгебраической геометрии.
Конструкцию кодов по алгебраической кривой нетрудно рассказать, когда эта кривая — прямая.

29) А. Н. Колмогоров — геометр. В. М. Тихомиров, 29 июля 2003 г.

30) Открытые проблемы элементарной геометрии. С. В. Маркелов, 22 июля 2003 г.

Аннотация: Во время Великой Отечественной войны в представлениях к полководческим орденам писали: “смело и решительно обходя очаги сопротивления, не ввязываясь в затяжные бои, проник далеко вглубь обороны противника”.
Так и наука наша, математика, ушла далеко вперед; в некоторых областях, чтобы понять даже условия задач, нужно учить лет 10 специальный язык сложнее Китайского.
Прорвавшаяся вперед наука оставила очаги сопротивления даже в элементарной геометрии: точки, прямые, окружности — условие понятно старшекласснику, а решение неизвестно никому.
О некоторых таких задачах и пойдет речь.
Лекция предполагается простой, доступной не только школьникам, но и начальству.

31) Задача факторизации матриц и ее применения. А. А. Болибрух, 22 июля 2002 г.

32) Удивительный комплексный мир. Д. В. Аносов, 18 июля 2002 г.

33) Элементарные топологические задачи. В. А. Васильев, 24 июля 2001 г.

34) Теорема Гёделя. А. Б. Сосинский, 22 июля 2001 г.

35) О числе нулей решений дифференциальных уравнений. А. Г. Хованский, 21 июля 2001 г.

36) Выпуклый анализ. В. М. Тихомиров, 19 июля 2001 г.

37) Уравнения Максвелла, внешние дифференциальные формы и расслоения. А. А. Болибрух, 19 июля 2001 г.

38) Астроидальная геометрия и топология. В. И. Арнольд, 18 июля 2001 г.

39) Три взгляда на векторные поля. Д. В. Аносов, 16 июля 2001 г.
 
Источник http://www.mathnet.ru 
Действия Зарегистрироваться и заказать диск
...